Đường trung trực của đoạn thẳng là gì? Tính chất và cách vẽ đường trung trực.

Đường trung trực của đoạn thẳng là kiến thức trọng tâm trong chương trình toán trung học cơ sở. Đến bây giờ vẫn có rất nhiều bạn học sinh chưa nắm rõ về đường trung trực của đoạn thẳng. Hôm nay, hãy cùng https://vietnamblackberry.vn/ đi tìm hiểu đường trung trực của đoạn thẳng là gì? Tính chất và cách vẽ đường trung trực của đoạn thẳng ra sao nhé.

1. Đường trung trực của đoạn thẳng là gì?

a. Định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng.

Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.

Để tìm đường trung trực của đoạn thẳng AB, ta cần tìm trung điểm M của đoạn thẳng AB, sau đó vẽ đường thẳng qua M và vuông góc với đoạn thẳng AB. Đường thẳng này chính là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Ví dụ, nếu đoạn thẳng AB có đỉnh A(-2, 3) và đỉnh B(4, 7), để tìm đường trung trực của đoạn thẳng AB, ta cần thực hiện các bước sau:

– Tìm trung điểm M của đoạn thẳng AB: M có tọa độ ( (-2+4)/2 , (3+7)/2 ) = (1, 5)

– Vẽ đường thẳng qua M và vuông góc với đoạn thẳng AB: Đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường thẳng đi qua điểm M(1, 5) và vuông góc với đoạn thẳng AB.

b. Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng.

Định lí 1: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

Định lí 2: Điểm cách đều hai mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Nhận xét:

+ Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

c. Cách vẽ đường trung trực.

  • Cách 1:

Cho một đoạn thẳng AB. Để vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB, ta thực hiện các bước sau:

– Vẽ đoạn thẳng AB. Xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB cách đều 2 điểm A và B..

– Kẻ một đường thẳng d vuông góc với đoạn thẳng AB tại điểm M.

Ta có d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

  • Cách 2:

Vẽ đoạn thẳng AB.

Dùng compa vẽ hai đường tròn tâm A và tâm B bán kính bằng nhau (độ dài bán kính bất kỳ).

Hai đường tròn giao nhau tại hai điểm M và N.

Kẻ đường thẳng MN. Ta được đường thẳng MN là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Cách vẽ này chính là tính chất đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường tròn giao nhau là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai tâm đường tròn.

Để chứng minh, ta có:

Hai cung tròn tâm A và B có bán kính bằng nhau và cắt nhau tại M, N nên AM = BM và AN = BN ⇒ M và N cách đều hai mút A, B của đoạn thẳng AB

Theo định lí 2 (được trình bày dưới đây) thì M và N thuộc đường trung trực của AB hay đường thẳng qua M và N là đường trung trực của AB.

Vậy MN là đường trung trực của AB.

2. Các dạng toán thường gặp về đường trung trực.

Dạng 1: Chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng

Phương pháp để chứng minh dạng toán này là chứng minh đường trung trực đó chứa hai

điểm cách đều 2 đầu đoạn thẳng. Giả sử: đường thẳng d chứa hai điểm cách đều A và B

hoặc dùng định nghĩa đường trung trực.

Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Phương pháp để chứng minh dạng toán này là sử dụng định lý: “Điểm nằm trên đường trung

trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.”

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Vẽ đường trung trực của các cạnh AB, AC cắt BC lần lượt tại D và E. Các tam giác ABD và AEC là tam giác gì?

Hướng dẫn giải:

Vì DM là đường trung trực của cạnh AB nên DA = DB

Suy ra, tam giác ADB cân tại D.

Vì EN là đường trung trực của cạnh AC nên EA = EC

Suy ra, tam giác AEC cân tại E.

Dạng 3: Bài toán về giá trị nhỏ nhất

Phương pháp để giải dạng toán về giá trị nhỏ nhất là sử dụng tính chất đường trung trực để

thay độ dài một đoạn thẳng thành độ dài một đoạn thẳng khác bằng nó hoặc sử dụng bất

đẳng thức tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất (tổng hai cạnh bất kỳ lớn hơn cạnh còn lại, hiệu

hai cạnh bất kỳ nhỏ hơn cạnh còn lại)

Dạng 4: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Phương pháp để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là sử dụng tính chất giao điểm

các đường trung trực của tam giác

Định lý: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba

đỉnh của tam giác đó.

Dạng 5: Bài toán liên quan đến đường trung trực đối với tam giác cân

Phương pháp để giải dạng toán liên quan đến đường trung trực đối với tam giác vân là dựa

vào tính chất: trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung

tuyến, đường phân giác ứng với cạnh đáy này.

Ví dụ: Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Vì ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC ⇒ A thuộc đường trung trực của BC.

Vì ΔDBC cân tại D ⇒ DB = DC ⇒ D thuộc đường trung trực của BC

Trên đây là kiến thức mà chúng tôi tổng hợp được về đường trung trực của đoạn thẳng. Hãy vận dụng kiến thức đã học để làm bài tập các em nhé. Chúc các em thành công.

>> Xem thêm: